▷ Conjugado de una funcion | Actualizado junio 2023

Función conjugada de la norma

Las explicaciones de Bertsekas me parecieron bastante sencillas y útiles para entender muchas cosas diferentes en el análisis convexo y la optimización. Quizás quieras consultar su libro “Convex Optimization Theory”, o sus apuntes para el curso del MIT, que también cubren la conjugación.
Vamos a hacer las cosas más fáciles de entender cubriendo el caso 1D. En ese caso nuestra $f^*$ se llama transformación de Legendre y nuestros hiperplanos se convierten en simples líneas. La generalización a las funciones multidimensionales es entonces relativamente sencilla.

Función compleja conjugada

Fórmula de la función conjugada

Desde los trabajos clásicos de Minkowski y Jensen se sabe que muchas de las desigualdades utilizadas en el análisis pueden considerarse como consecuencias de la convexidad de ciertas funciones. En varias de estas desigualdades aparecen pares de funciones “conjugadas”, por ejemplo, pares de potencias con exponentes a y a relacionadas por 1/a + 1/a = 1. Un ejemplo más general es el par de funciones convexas positivamente homogéneas denegadas por Minkowski y conocidas como la función de distancia (o de gálibo) y la función de soporte de un cuerpo convexo. El propósito del presente trabajo es explicar la idea general (por cierto bastante elemental) que subyace a esta correspondencia.

Función conjugada en elisa

Soy malo en matemáticas y estoy teniendo un tiempo extremadamente difícil tratando de entender el conjugado de una función. No estoy seguro de que la línea de puntos sea la función conjugada. ¿Cómo puedo encontrarla? Esta es mi limitada comprensión de los pasos.
Así que sólo sé cómo dibujar la línea $x y$. Entonces estoy atascado. Estaría bien si alguien pudiera dar un ejemplo numérico pasando por algunos valores de x o y ( no estoy seguro de si se supone que debo pasar por los valores de x o y). Sólo puedo entender después de ver un ejemplo con números.